99真人

首页 > 正文

偏微分方程:宇宙客观真理的化身

www.launchpad-cms.com2019-08-24

00: 00

来源:哲学园

偏微分方程:宇宙客观真实的化身

转自:赛先生

如果您对版权感兴趣,请编辑WeChat iwish89联系人

作者叶高翔

(浙江大学物理系教授,博士生导师,浙江大学科技学院)

一般来说,人类科学大致可分为两个阶段:第一阶段是从公元前3000年到公元16世纪,我们称之为经验科学的阶段;第二阶段是从16世纪到现在,科学发展进入快速增长阶段,我们称之为精确的科学阶段。

01

经验科学缺乏精确性

在实证科学阶段,人类的科学事业处于初级发展时期,科学的发展主要依赖于人的“经验”。经验来自实践,通常以定性为特征,很少使用准确的数字描述,基本上没有数学,并且至多是小学数学。经验科学的一般范式可归纳如下:

因为前任操作A过程以获得B结果,后者也可以操作A过程以获得B结果,并且A过程和B结果都是具有主观痕迹的定性或半定量描述。

在科学的经验阶段,人类在陶瓷,冶炼,火药,造纸,古代医学,几何光学,静磁学,静电学,天文学和声学方面取得了许多重大突破。

在中国古代,中医药的发展具有鲜明的经验和科学特征。例如,战国时期编纂的《黄帝内经》和明朝的《本草纲目》是典型的经验科学。中医的明显功效使人们相信这种经验方法的有效性,并且已经发展并传承了过去几千年的历史。

人们去中药吃药。我看到药剂师手工将几个或几美元的草药分成几堆。当中草药受到折磨时,患者被告知“适度温度”或“吸烟汤”,但没有得到通知。具体的温度和温度上升和下降曲线。中药治疗草药,但不需要知道草药的具体化学成分。当时,李时珍知道“使用少量的青蒿,加入两升水和煨汁”可以治疗疟疾的冷热,但他不知道化学成分青蒿素的分子式和精确含量在草药中。当老中医把手上的狗皮膏放在明火上并贴在病人的患处时,他此时并不知道狗皮膏的实际温度,也不知道速度和浓度衰减曲线药物分子扩散到皮肤中。

从精确科学的角度来看,中国古代狗皮膏治疗关节炎等疾病的原则是现代物理学中原子和分子扩散原理的最早应用,扩散原理是偏微分方程

(1)

在Newton和Leibniz发明微积分理论之后,完成了建立和精确的解决方案。

(1)由于定性“经验”往往具有一定的主观性,基于经验的推理或判断错误的概率很大,容易导致错误的结果。

例如,在炎热的夏日,当我们在阳光照射下来到树荫下时,我们立即感到凉爽;但是当我们从空调房间出来并且在相同的阴凉处时,感觉非常热。这是因为人们对温度的感知不仅取决于其绝对值的大小,还取决于正负温度变化的量。

(2)定性“经验”导致难以准确重复实验。 “经验”和相关技术的继承已经成为一个问题,导致大量优秀技术的流失。

例如,在陶瓷的烧制过程中,如果仅通过目视观察火的颜色判断炉温,整个烧制过程中的温度升高,保温和冷却只能通过经验来控制,那么即使是很小的偶尔会获得精美陶器的数量。瓷器也难以精确重复,所得产品的产率不高,其质量的可重复性和一致性相对较低。

(3)在经验科学阶段,定性归纳推理成为主要的推理范式。由于抽象的高级数学不用于抽象概括和演绎推理,因此几乎不可能揭示自然的本质规律。

2

真实化身的精确科学

16世纪以后,人类对自然规律的揭示得到了深入发展,精确的科学研究范式逐渐形成。据说,1590年,意大利物理学家伽利略在比萨斜塔进行了一次自由落体试验,同时从塔顶抛出两个不同大小的铁球。结果,两个铁球同时着陆,从而发现了自由落体运动的规律。此外,伽利略还发现了相对性原理,惯性定律和经典力学中的运动合成原理,发明了望远镜和温度计,并证明了“日心说”和太阳的旋转。特别是,他将数学方法与实验测量结合起来,阐明了理论和实验,创造了现代精密科学的研究范式:

(a)准确的实验,总结实验规则;

(b)提出假设来定量解释实验规则;

(c)根据假设,使用数学推理和逻辑推理来获得推论或预言;

(d)客观,准确的量化,任意和可重复的推论或预言的实验测试;

(e)修改理论和假设;

(f)实验检验假设和理论;

伽利略首先倡导上述精确的科学研究范式,后来的世代不断完善。因此,它也被称为“伽利略科学研究范式”,它是所有现代自然科学的一般研究范式。这种范式需要客观,准确的量化,任意和可重复的循环比较,校正和改进实验和理论,以不断提高理论和实验的准确性和一致性,最终揭示宇宙的客观规律(真理)。

1

客观,准确,可重复

结果严格一致,实验结果独特确定,与实验操作者,实验时间或地点无关; “精确量化”需要科学实验来准确描述和演绎使用数字,函数或微分方程; “重复”意味着科学家可以在允许的时间范围内,物理力量,脑力,资金,仪器和设备的任何时间重复实验过程。请注意,这里不要求无限制的重复性。

从“可重复”到“任意可重复”的上升不仅代表了实验重复次数的增加,而且还规定了科学实验重复次数的选择规则;从“无限可重复”到“任意可重复”,表明科学实验是重复的。数量的有限性和相对性反映了科学的真正含义,也为科学的局限性提供了信息。

现代文明创造了精密科学的一个奇迹,例如航天器与某个轨道上的空间实验室对接,高超音速导弹拦截,超大规模集成电路准备,原子和分子操作以及转基因技术。

追求现代科学的精确性是无止境的。目前,普朗克量子力学常数的最新测量值为h=6.(52)×10 -34焦耳秒;最新的电子磁矩测量值为μe=1.(10)μB,其中μB为常数;自伽利略以来,人们一直对测量光速感兴趣,现在测量的最高精度为c=m/s;目前人体测量电压的精度约为10-17伏,精确测量磁场的程度约为10-15特斯拉,测量精度的空间距离约为10-10米,测量精度为时间为大约10-35秒,依此类推。人们仍然不满意,测量精度仍在增加。

在上述精确的科学研究范式中,有一个非常苛刻的过程:使用数学推理和逻辑推理来获得推论或预言,客观,准确的量化,以及任意可重复的重复验证和更准确的实验。换句话说,精密科学不仅需要越来越精确的实验测量,还需要理论更准确地描述,计算,推导和预测实验规律,并揭示实验现象背后的深宇宙规律。

16世纪以后,以微积分为代表的现代高等数学开始诞生和发展,为精确科学的发展提供了强有力的支持。可以说,几个世纪以来,精密科学与高等数学的发展密切相关。

爱因斯坦的相对论是精确科学的理论模型。现代高等数学使用的包括微积分,线性代数,张量分析,群论,拓扑,微分几何等。得到的结论的准确性令世人惊叹!到目前为止,诸如“引力红移”,“轻度弯曲”等已经通过极其精确的实验得到验证。另外,还有许多其他精确的理论预测,如重力等,因为精度太高,实验极其困难,到目前为止还没有直接验证实验。

2642c2af566f4835bce6881634cfdeb3.jpeg

图1,图2爱因斯坦出生纪念碑位于德国乌尔姆市。铭文:1879年3月14日,阿尔伯特爱因斯坦出生在这所房子里。

人们不禁要问:为什么你要花这么大的代价,可以用准确的理论周期重复进行任意和可重复验证的实验?实际上,准确的实验测量数据和先进的数学解释严谨逻辑,既有实验目标,也有理论目标,准确定量,任意和可重复的循环验证;实验数据测量越准确,重复越随机,数学越高,精确推导的结果越一致,基本宇宙的客观规律就越明显,科学理论就越接近客观真理宇宙

2

确切的数量限制

准确性是相对的,不准确是绝对的。准确性是一个具有鲜明时代特征的相对概念。

数学是精确的,它可以无限地接近绝对绝对值。然而,当使用数学工具(包括大型计算机)来计算实际的科学问题时,有必要建立一个简化的模型并进行近似计算,这是不可能绝对准确的。逻辑是严谨的,它可以使逻辑漏洞倾向于零,但是,当我们将逻辑原理应用于实际科学问题时,逻辑漏洞是不可避免的。

由于仪器的准确性,周围环境的变化,人为因素等,在人类进行的所有实际科学实验中都存在误差,并且从未进行过绝对准确和无差错的科学实验。科学的任务不是消除错误,而是减少错误并将错误减少到实际应用的允许范围内。现在就是这种情况,将来一定是一样的。当然,随着人类文明的不断进步,各种实际应用所允许的误差范围也将越来越小。因此,物理学,化学,材料科学,地球科学和生命科学等自然科学必然是相似的,相对的事实。

在20世纪20年代,量子力学诞生了。海森堡不确定性原理告诉我们,对于微观粒子,如果它的坐标是x,动量是p,能量是E,生命是t,它们的不确定性范围是△x,△p,△E和△t,它们满足不确定关系

△x△p≥h

△t△E≥h,

(2)

其中h是普朗克常数。上式表示如下:微观粒子的坐标和动量不能同时确定;微观粒子的能量和寿命不能同时确定。两个不确定量的乘积大于常数,我们永远不能让其中一个量的不确定性范围等于零。由于上述方程中的能量和动量都具有不确定的范围,因此在这种精度下,能量和动量都不能保存。当然,由于h的值很小,这种所谓的“不确定性”很小,但它是客观的,不能通过提高仪器测量的准确性或提高观察者的质量来克服。由此我们可以看出,在不断理解客观世界的道路上,人类第一次触及了宇宙的极限,这是一个不可逾越的极限!

20世纪70年代建立的非线性科学理论告诉我们线性是相对的,非线性是绝对的。非线性效应可导致对原因的微小变化产生极其敏感的结果,并且目前无法通过任何方法(包括高灵敏度检测器,超大型高速计算机等)准确预测灵敏度。

现代人终于明白,生活在天地间的人不能“做他们想做的事”。我们对宇宙客观规律和真理的准确性和描述有其局限性。 “准确科学”中所谓的“精确”是相对的,由此获得的“宇宙的客观真理”也是相对真理。

3

宇宙客观真理的体现

随着精确科学的不断发展,一个又一个宇宙的客观真理被揭示出来。已经发现,在现实空间中,宇宙的客观真实性通常由偏微分方程描述。

例如,宇宙中所有宏观的低速机械运动都可以从牛顿方程导出

(3)

描述。

麦克斯韦方程的经典电磁场运动定律

d62328fb3ccb4ed08eafbb06bd53a138.jpeg

(4)

描述,它揭示并统一了电,磁和光运动的宏观规律。

件下材料运动的一般定律的二阶线性偏微分方程,如下式所示:

(5)

其中Ψ是波函数,r是空间坐标向量,x,y,z是三维空间坐标,t是时间,m是微观粒子的质量,V是势能,虚构单位i=,减少的普朗克常数焦耳秒。薛定谔方程在量子力学中与经典力学中的牛顿方程具有相同的位置。

2b5b29160eb8433c878d76e5fb7f5f38.jpeg

图3维也纳大学校园里的薛定谔雕像,碑文是着名的薛定谔方程。

有许多类似的例子。例如,在高能物理中,描述零自旋基本粒子(如π介子)运动规律的Klein-Gordon方程是一个二阶偏微分方程;描述自旋的基本粒子是电子,中微子等运动定律的狄拉克方程,是一阶偏微分方程;描述广义相对论中空间物质能量,动量分布和空间曲率之间关系的爱因斯坦场方程是二阶张量方程(实际上它是一个二阶非线性偏微分方程)等。

此外,还有其他一些情况:

(a)类似于牛顿万有引力定律,即两个天体之间的吸引力与它们之间的距离的平方成反比,与它们的质量积成比例,而G是引力常数。宇宙真理只是未知函数,变量和常数之间的函数关系,而不是偏微分方程。事实上,这些定律只是更精确理论的近似表达。例如,牛顿万有引力定律是在特殊情况下(近距离,弱引力和慢速)的广义相对论中爱因斯坦场方程的近似。

(b)德布罗意波粒子对偶假设在量子力学中的相似性(即微观粒子的波长λ和动量p的倒数,h是普朗克常数。)宇宙真理似乎没有是一个微分方程。但实际上,它们是建立相关偏微分方程的基本假设,已经包含在相应的偏微分方程中。例如,上述薛定谔方程(5)包括De Broglie波粒二象性假设。

总之,通过严谨而巧妙的数学解决和解释,可以获得一个又一个的科学推理,一个又一个地解决一个科学问题,创造人类文明的奇迹。因此,这些偏微分方程当之无愧为“宇宙客观真理的化身!”

那么为什么宇宙中最基本的客观真理通常用这样一个简单的偏微分方程描述?换句话说,为什么这种偏微分方程可以作为宇宙真理的体现?根据偏微分方程的许多性质,可以回答其原因。如下:

(i)宇宙在不断变化;

(ii)宇宙中的常数,变量和变化率彼此正好相关;

(iii)宇宙的客观真理是简洁,统一和神秘的。

4

真理的化身是如何来到地球的?

应该指出的是,许多偏微分方程,作为宇宙客观真理的体现,并不是严格推导出来的,而是由科学巨头逐一建立起来的。首先,它需要大量的理论和实验准备。当新的实验结果与原理论相矛盾并变得越来越尖锐时,理论的缺陷和局限性就不断显现出来。当时机成熟时,一些科学巨头,凭借其独特的哲学,敏锐的创新思维方式,扎实的理论基础和丰富的科研经验,突然触发智慧的“灵感”,从而提出革命性的科学假设,建立一个新的偏微分方程。这些方程是精确,简洁和神秘的,因此“天堂机器”是宇宙统治者的“预设”,人类可以揭示和不能改变。

没有天才可以做到。从“建立”偏微分方程的成功例子的分析中可以得出以下结论:

(1)提出一个革命性的科学假设,建立一个新的偏微分方程,是伟大科学家智慧“灵感”的具体体现,其特点是当时的非理性思维;

(2)智力“灵感”需要扎实的专业基础,完整的知识结构,丰富的科研经验和非凡的智慧和勇气;

(3)智慧“灵感”的触发也与时代,学科,环境等偶然因素有关。

此外,科学家需要将他们的智力和体力长期集中在一个科学问题上,并澄清其原因和后果,关键点,困难的本质以及问题的相互关系。然后,经过长时间的深入形象和抽象思维,由一些“偶然因素”引发,科学家的智慧“灵感”突然闪现。灵感可以通过各种形式触发,例如在思想交流,比较和结合,经过长时间深思熟虑,甚至在梦中。

那么,智慧“灵感”是如何触发的?诸如“天才之举”,“超级感官知觉”,“天体感”,“上帝与人”之类的超级力量解释当然可以满足我们的好奇心。但事实上,智慧“灵感”的触发与科学家的非凡智慧,思维方式,知识结构,长期顽强的探索和心理素质有关。此外,智慧“灵感”的触发来自于心灵的深处,并且与科学家大脑中脑细胞,分子,原子,离子,电磁场等的运动和相互作用密切相关。令人遗憾的是,到目前为止,人类还没有能够揭示触发智慧“灵感”的真正微观机制,而且可能永远不会被揭示出来!

参考

[1]叶高祥,“二十四科学思想”,商务印书馆,2015年。

仅提供信息存储空间服务。

阅读()

热门浏览
热门排行榜
热门标签
日期归档